BZOJ1485 [HNOI2009]有趣的数列

洛谷上很多省选题都没有题解,不得不找bzoj的题解

概述

50%

使用递推,在O(n2)\mathcal O(n^2)的时间内得到答案,不过我没写对

正解

通过暴力或者上述方法,打印出较小的答案,可能会发现规律。实际上这题就是求Catalan数(n-2),有很多理解方式,常见的求法有三种(参见百度百科 ):

  1. fn=i=0n1fifni1f_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_i*f_{n-i-1} ,不能使用这个公式,因为也需要O(n2)\mathcal O(n^2)
  2. fn=fn14n2n+1f_n=f_{n-1}*\frac{4n-2}{n+1} ,我本来以为可以用的,但是由于pp不一定是一个质数,因此无法计算逆元以进行除法运算
  3. fn=C2nnn+1f_n=\frac{\mathcal C_{2n}^{n}}{n+1} ,这是可用的公式

如果不熟悉组合数的求法,可以做一下计算系数 ,总结中给出代码。

其中C2nnn+1=i=n+22nii=1ni\frac{\mathcal C_{2n}^{n}}{n+1}=\frac{\prod\limits_{i=n+2}^{2n}i}{\prod\limits_{i=1}^ni},我们需要把所有2n2n之内的质数筛出来,同时得到每个数最小的质因数(欧拉线性筛法),进行约分再使用快速幂1得出结果。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2000005;
//注意是2*n
int mp[N], p[N / 10], cnt[N], r;
//mp[]表示每个数最小的质因数,p[]表示质数表,cnt[]用于计算指数,r为取模数
int qpow(int a, int b)
//快速幂:计算a^b%r
{
int ans = 1;
do
{
if (b & 1)
ans = (long long)ans * a % r;
a = (long long)a * a % r;
} while (b /= 2);
return ans;
}
int main()
{
int n;
cin >> n >> r;
int pn = 0;
for (int i = 2; i <= 2 * n; i++)
{
if (!mp[i])
{
p[++pn] = i;
mp[i] = i;
}
for (int j = 1; j <= pn && i * p[j] <= 2 * n; j++)
{
mp[i * p[j]] = p[j];
if (i % p[j] == 0)
break;
}
}
//欧拉线性筛法
for (int i = 1; i <= n; i++)
cnt[i] = -1;
//需要除以分母
for (int i = n + 2; i <= 2 * n; i++)
cnt[i] = 1;
//乘以分子
for (int i = 2 * n; i > 1; i--)
if (mp[i] < i)
//如果是合数,向下传递,可以保证O(n)
{
cnt[mp[i]] += cnt[i];
cnt[i / mp[i]] += cnt[i];
}
int ans = 1;
for (int i = 2; i <= 2 * n; i++)
if (mp[i] == i)
//如果是质数计入答案,合数已经处理过了
ans = (long long)ans * qpow(i, cnt[i]) % r;
//防止中间过程溢出
cout << ans << endl;
return 0;
}

总结

组合数相关

这题需要求组合数,我总结了一下我知道的组合数取模的求法(P1313模板):

  1. 使用杨辉三角Cn0=Cnn=1\mathcal C_n^0=\mathcal C_n^n=1Cni=Cn1i+Cn1i1\mathcal C_n^i=\mathcal C_{n-1}^i+\mathcal C_{n-1}^{i-1} 代码见这里
  2. pp是质数时可以得出aa的逆元为ap2a^{p-2}Cn0=1\mathcal C_n^0=1Cni=Cni1ki+1i\mathcal C_n^i=\mathcal C_n^{i-1}\frac{k-i+1}{i} 代码见这里
  3. pp不是质数时只能用上述方法,筛出质数并约分代码见这里

应该不需要解释吧

时间复杂度分析

在添加数时,也可以先把这个数分解,但应该会降低效率.

而我用的方法筛质数、添加数、向下传递都是O(n)\mathcal O(n)的,最后一步为π(n)logn\pi(n)\log n 2,而π(n)nlnn\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n} ,因此也近似于O(n)\mathcal O(n) .


  1. 1.使用分治法在O(logn)\mathcal O(\log n)的时间内计算出 .
  2. 2.π(n)\pi(n)表示不超过nn的质数个数